まとめ

ツイートを保存するには「いいね！」を利用する方法があります。
しかし、いいね！はツイートされた時系列に並ぶため、自分がいいね！をしたタイミングごとの並び替えはできません。
また、検索機能もないため、あとで見返す時にも不便でしょう。

DM機能を利用した保存方法であれば、自分が送信したタイミングごとに保存できます。
Twilogを利用すれば、運営しているアカウントのツイートに限り検索ができるので、チームメンバーから特定のツイートを共有して欲しいと言われた時でも対応できるでしょう。

それぞれの保存方法には「ツイートの検索ができない」「運営しているアカウントのツイートのみ利用できる」といったデメリットが存在します。
自社の運営に合わせて選択していきましょう。